Добрый день.
1. Что такое oldu/oluyor - как это переводится и когда что надо выбирать?
Есть глагол olmak, в зависимости от времени, он может приобретать аффиксы прошлого (du) или настоящего времени (yor), и переводиться он будет в соответствии со временем olmak-быть oluyor-становится, oldu-стало.
2. Как сказать: "Я учу турецкий вот уже 4 недели" - "Ben Türkçe öğreniyeli dort hafta oldu"?

В данном случае такая конструкция не применима. Так как этот аффикс используется с глаголами не продолжительного действия, а глагол учиться, выражает продолжительное действие.

Если хочется использовать слово "oldu"  : " Dört hafta oldu, ben Türkçe öğreniyorum."
"Dört haftadır Türkçe öğreniyorum." / "Türkçe öğrenmeye başlayalı, dört hafta oldu."

3. В каждом из примеров написано "oldu/oluyor", но в переводе не вижу чтобы на русском было приведено два слова через слеш, т.е. как будет переводится: "Ben, sinemaya gitmeyeli 3 ay oldu" и как "Ben, sinemaya gitmeyeli 3 ay oluyor."?

Ben, sinemaya gitmeyeli 3 ay oldu - по примеру в пункте один - Прошло 3 месяца как я не был в кино
Ben, sinemaya gitmeyeli 3 ay oluyor - Идет уже 3й месяц с тех пор как я был в последний раз в кино

Теги: oldu, oluyor, турецкий язык